Ce paradoxe en est un d'économie qui touche aux probabilités, mais surtout à la théorie de la décision. Dans la théorie de la décision, tout était (à la base) fondé sur le fait que dans un cas d'incertitude, la décision à prendre est une fonction de l'espérance mathématique de la venue de l'expérience.
Le paradoxe de Saint-Pétersbourg décrit une situation où l'espérance de gain pour le joueur est infinie, mais où le joueur ne voudra certainement pas plus qu'il ne le faille participer au jeu.
Soit le jeu suivant: on lance une pièce équilibrée jusqu'à ce qu'on tombe sur, disons, pile. Si on obtient pile au premier coup, on gagne 1$. À chaque échec, on double le montant gagné. Autrement dit, si on obtient pile au deuxième coup, on gagne 2$. Au troisième, 4$. Au quatrième, 8$. Plus généralement, si on gagne au nième coup, on gagne 2^{n-1}$. Donc, au 20ième coup, on gagne 524 288$.
Quelle est l'espérance de gain? La probabilité que le jeu se termine au premier coup est 1/2. Au deuxième, 1/4. Au troisième, 1/8. Plus généralement, la probabilité que le jeu se termine au nième coup est 1/2^n. L'espérance est donc: 1/2 * 1 + 1/4 * 2 + 1/8 * 4 + ... = 1/2 + 1/2 + 1/2 + ...
Cette somme est une somme divergente, i.e. elle vaut l'infini. La conclusion à tirer est la suivante: sur une infinité d'expériences, on deviendra infiniment riche. À long terme, on dira qu'on est "presque certain" de faire un gain ("presque certain" signifie que l'évènement a une probabilité 1 de se produire, mais on ne sait pas quand).
Le paradoxe est tout simple: combien d'entre vous voudraient jouer à ce jeu pour un coût de 20$ ? Probablement personne... et c'est bien normal.
C'est un paradoxe qui a été formulé par un certain Bernoulli, et qui a été retravaillé par un autre Bernoulli (son cousin -- je ne sais plus lesquels là... il y en a tellement... maudite famille de génies). La "solution" est que, dans ce cas-ci, bien que la "bonne chose" (objective) à faire soit de jouer, peu importe le prix, on s'explique la réticence des gens par une fonction d'utilité ainsi que par l'aversion au risque.
C'est à peu près à cause de ça que la notion d'utilité marginale est apparue.
Le concept d'utilité marginale est le suivant: pour chaque unité supplémentaire de "quelque chose" (service, bien, ...), l'utilité que j'y trouve change un peu. Il est facile de montrer que l'utilité marginale est strictement décroissante pour tout, c'est-à-dire que "plus j'en ai, moins j'y tiens". Par exemple, si j'ai une pomme, je veux ma pomme. Si j'ai deux pommes, bah je veux mes pommes. Si j'ai 10 000 pommes, vous pouvez ben vous en prendre chacun une, j'en n'ai rien à foutre.
Pareillement, un pauvre qui donne 10$ verra son bonheur diminuer beaucoup plus qu'un riche qui donne 10$, parce qu'il y voit une moins grande utilité que le pauvre.
En tout cas... c'est très intéressant, la théorie de la décision.
Le paradoxe de Saint-Pétersbourg décrit une situation où l'espérance de gain pour le joueur est infinie, mais où le joueur ne voudra certainement pas plus qu'il ne le faille participer au jeu.
Soit le jeu suivant: on lance une pièce équilibrée jusqu'à ce qu'on tombe sur, disons, pile. Si on obtient pile au premier coup, on gagne 1$. À chaque échec, on double le montant gagné. Autrement dit, si on obtient pile au deuxième coup, on gagne 2$. Au troisième, 4$. Au quatrième, 8$. Plus généralement, si on gagne au nième coup, on gagne 2^{n-1}$. Donc, au 20ième coup, on gagne 524 288$.
Quelle est l'espérance de gain? La probabilité que le jeu se termine au premier coup est 1/2. Au deuxième, 1/4. Au troisième, 1/8. Plus généralement, la probabilité que le jeu se termine au nième coup est 1/2^n. L'espérance est donc: 1/2 * 1 + 1/4 * 2 + 1/8 * 4 + ... = 1/2 + 1/2 + 1/2 + ...
Cette somme est une somme divergente, i.e. elle vaut l'infini. La conclusion à tirer est la suivante: sur une infinité d'expériences, on deviendra infiniment riche. À long terme, on dira qu'on est "presque certain" de faire un gain ("presque certain" signifie que l'évènement a une probabilité 1 de se produire, mais on ne sait pas quand).
Le paradoxe est tout simple: combien d'entre vous voudraient jouer à ce jeu pour un coût de 20$ ? Probablement personne... et c'est bien normal.
C'est un paradoxe qui a été formulé par un certain Bernoulli, et qui a été retravaillé par un autre Bernoulli (son cousin -- je ne sais plus lesquels là... il y en a tellement... maudite famille de génies). La "solution" est que, dans ce cas-ci, bien que la "bonne chose" (objective) à faire soit de jouer, peu importe le prix, on s'explique la réticence des gens par une fonction d'utilité ainsi que par l'aversion au risque.
C'est à peu près à cause de ça que la notion d'utilité marginale est apparue.
Le concept d'utilité marginale est le suivant: pour chaque unité supplémentaire de "quelque chose" (service, bien, ...), l'utilité que j'y trouve change un peu. Il est facile de montrer que l'utilité marginale est strictement décroissante pour tout, c'est-à-dire que "plus j'en ai, moins j'y tiens". Par exemple, si j'ai une pomme, je veux ma pomme. Si j'ai deux pommes, bah je veux mes pommes. Si j'ai 10 000 pommes, vous pouvez ben vous en prendre chacun une, j'en n'ai rien à foutre.
Pareillement, un pauvre qui donne 10$ verra son bonheur diminuer beaucoup plus qu'un riche qui donne 10$, parce qu'il y voit une moins grande utilité que le pauvre.
En tout cas... c'est très intéressant, la théorie de la décision.
2 commentaires:
J'aime ça les problèmes de probabilités
nice l'article, ça me rappelle prob I
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